Question

5．已知函數f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）當x∈[1，+∞）時，求函數y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用對數函數的性質即基本運算法則求解不等式即可．
（2）利用對數函數的單調性求解值域．

解答 解：（1）函數f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1）．
∵g（x）≥f（x），即log₂（x+1）≤log₂（3x+1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{3x+1＞0}\\{x+1≤3x+1}\end{array}\right.$
解得：x≥0，
∴即使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍為[0，+∞）．
（2）函數y=g（x）+f（x），即y=g（x）+f（x）
=log₂（3x+1）+log₂（x+1）
=log₂（3x²+4x+1）（x≥1）
令h（x）=（3x²+4x+1），
則h（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴h（x）≥8．
故y=g（x）+f（x）∈[3，+∞），
即函數y=g（x）+f（x）的值域為[3，+∞）．

點評 本題考查了對數函數的運用和復合函數的值域的求法．屬于中檔題．