Question

17．已知|a_n|是遞增的等差數列，a₁，a₂是函數f（x）=x²-10x+21的兩個零點．
（1）求數列|a_n|的通項公式；
（2）記b_n=a_n×3ⁿ，求數列|b_n|的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出函數的零點，得到數列的第一項與第三項，求出公差，然后求解通項公式．
（2）利用錯位相減法求解數列的或即可．

解答 解：（1）函數f（x）=x²-10x+21的兩個零點為3，7，
由題意得a₁=3，a₃=7．
設數列的公差為：d，則2d=4，d=2，數列{a_n}的通項公式：a_n=2n+1．
（2）b_n=a_n×3ⁿ=（2n+1）×3ⁿ，可得${S_n}=3×3+5×{3^2}+…+（{2n-1}）×{3^{n-1}}+（{2n+1}）×{3^n}$，$3{S_n}=3×{3^2}+5×{3^3}+…+（{2n-1}）×{3^n}+（{2n+1}）×{3^{n+1}}$，
兩式相減得$-2{S_n}=9+2×（{{3^2}+{3^3}+…+{3^n}}）-（{2n+1}）×{3^{n+1}}=9+（{{3^{n+1}}-9}）-（{2n+1}）×{3^{n+1}}$，
所以${S_n}=n×{3^{n+1}}$．

點評 本題考查數列的通項公式以及數列求和，考查計算能力以及轉化思想的應用．