Question

8．水培植物需要一種植物專用營養液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）個單位的營養液，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數關系式近似為y=af（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4+x}{4-x}（0≤x≤2）}\\{\;}\\{5-x（2＜x≤5）}\end{array}\right.$，若多次投放，則某一時刻水中的營養液濃度為每次投放的營養液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中營養液的濃度不低于4（克/升）時，它才能有效．
（1）若只投放一次4個單位的營養液，則有效時間可能達幾天？
（2）若先投放2個單位的營養液，3天后投放b個單位的營養液．要使接下來的2天中，營養液能夠持續有效，試求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）營養液有效則需滿足y≥4，由分段函數，對x討論，解不等式即可得到結論；
（2）設第二次投放營養液的持續時間為x天，則此時第一次投放營養液的持續時間為（x+3）天，且0≤x≤2；設y₁為第一次投放營養液的濃度，y₂為第二次投放營養液的濃度，y為水中的營養液的濃度；可得y₁=2[5-（x+3）]=4-2x，y₂=b•$\frac{4+x}{4-x}$，y=y₁+y₂=4-2x+b•$\frac{4+x}{4-x}$≥4在[0，2]上恒成立，運用參數分離和換元法，結合基本不等式，即可得到b的最小值．

解答 解：（1）營養液有效則需滿足y≥4，則$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{4•\frac{4+x}{4-x}≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤5}\\{4（5-x）≥4}\end{array}\right.$，
即為0≤x≤2或2＜x≤4，
解得0≤x≤4，
所以營養液有效時間可達4天；
（2）設第二次投放營養液的持續時間為x天，
則此時第一次投放營養液的持續時間為（x+3）天，且0≤x≤2；
設y₁為第一次投放營養液的濃度，y₂為第二次投放營養液的濃度，
y為水中的營養液的濃度；
∴y₁=2[5-（x+3）]=4-2x，y₂=b•$\frac{4+x}{4-x}$，
y=y₁+y₂=4-2x+b•$\frac{4+x}{4-x}$≥4在[0，2]上恒成立，
∴b≥2x•$\frac{4-x}{4+x}$在[0，2]上恒成立
令t=4+x，t∈[4，6]，則b≥-2（t+$\frac{32}{t}$）+24，
又-2（t+$\frac{32}{t}$）+24≤24-2•2$\sqrt{t•\frac{32}{t}}$=24-16$\sqrt{2}$，
當且僅當t=$\frac{32}{t}$，即t=4$\sqrt{2}$時，取等號；
所以b的最小值為24-16$\sqrt{2}$．
答：要使接下來的2天中，營養液能夠持續有效，b的最小值為24-16$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數模型在實際問題中的運用，考查函數的最值求法，注意運用基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．