Question

3．如圖，已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P、Q，若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{13}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{39}}}{9}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 確定△QAP為等邊三角形，設AQ=2R，則，OP=$\frac{2}{3}$R，利用勾股定理，結合余弦定理和離心率公式，計算即可得出結論．

解答 解：因為∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP為等邊三角形，
設AQ=2R，則PQ=2R，OP=$\frac{2}{3}$R，
漸近線方程為y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），
取PQ的中點M，則AM=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①，
在△OQA中，$\frac{\frac{64}{9}{R}^{2}+4{R}^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{8}{3}R•2R}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{52}{9}$R²=a²②
①②結合c²=a²+b²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查離心率的計算，考查余弦定理、勾股定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．