Question

8．已知x，y∈R⁺，且滿足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值為5+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由正數x，y滿足x+2y=2xy，得到$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$=1，再利用基本不等式即可求出．

解答 解：由正數x，y滿足x+2y=2xy，∴$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$=1，
∴3x+4y=（3x+4y）（$\frac{1}{2y}$+$\frac{1}{x}$）=3+2+$\frac{3x}{2y}$+$\frac{4y}{x}$≥5+2$\sqrt{\frac{3x}{2y}•\frac{4y}{x}}$=5+2$\sqrt{6}$，
當且僅當x=$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，y=$\frac{2+\sqrt{6}}{4}$時取等號，
故3x+4y的最小值為：$5+2\sqrt{6}$，
故答案為：5+2$\sqrt{6}$

點評 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質，屬于中檔題．