Question

17．已知$sinx+cosx=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，x∈（0，π），則tanx=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根據sinx+cosx的值和二者的平方關系聯立求得sinx、cosx的值，進而利用商數關系求得tanx的值．

解答 解：∵$sinx+cosx=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，x∈（0，π），
∴兩邊平方得2sinxcosx=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosx＜0
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，
∵sinx-cosx＞0，
∴sinx-cosx=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
與$sinx+cosx=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，聯立
解得sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosx=-$\frac{1}{2}$，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了同角三角函數的基本關系的應用．解題的過程中要特別注意根據角的范圍確定三角函數值的正負號．