Question

12．如圖，扇形AOB所在圓的半徑是1，弧AB的中點為C，動點M，N分別在OA，OB上運動，且滿足OM=BN，∠AOB=120°．
（Ⅰ）設$\overrightarrow{OA}=a，\overrightarrow{OB}=b$，若$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$，用a，b表示$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{CN}$；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得△OAC是等邊三角形，|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，四邊形OACB是平行四邊形，從而用a，b表示$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{CN}$．
（Ⅱ）利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，化簡$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的解析式，再利用二次函數的性質，求得它的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得△OAC是等邊三角形，∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
∴四邊形OACB是平行四邊形，∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=a+b$，
∴$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}=\frac{3}{4}a-a-b=-\frac{1}{4}a-b$，$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}b-a-b=-a-\frac{3}{4}b$．
（Ⅱ）設$\overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{OA}=ta$，則$\overrightarrow{ON}=（{1-t}）\overrightarrow{OB}=（{1-t}）b$，t∈[0，1]．
∴$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}=ta-a-b=（{t-1}）a-b$，$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}=（{1-t}）b-a-b=-a-tb$，
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}=[{（{t-1}）a-b}][{-a-tb}]=-（{t-1}）{a^2}-t（{t-1}）a•b+a•b+t{b^2}$=$\frac{1}{2}（{{t^2}-t+1}）=\frac{1}{2}[{{{（{t-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]$，
由t∈[0，1]，得$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的取值范圍是$[{\frac{3}{8}，\frac{1}{2}}]$．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的運算，二次函數的性質，屬于中檔題．