Question

4．若正數a，b滿足$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，則$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$的最小值為2．

Answer 1

分析 由條件可得則$\frac{1}{b-2}$=$\frac{a}$，$\frac{2}{a-1}$=$\frac{a}$，代入所求式子，再由基本不等式，即可得到最小值，注意等號成立的條件

解答 解：正數a，b滿足$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，
則$\frac{1}{a}$=1-$\frac{2}$=$\frac{b-2}$，或$\frac{2}$=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$
則$\frac{1}{b-2}$=$\frac{a}$，
由正數a，b滿足$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，則$\frac{2}$=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，
則$\frac{2}{a-1}$=$\frac{a}$，
$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$=$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，當且僅當a=b=3時取等號，
故$\frac{2}{a-1}+\frac{1}{b-2}$的最小值為2，
故答案為：2

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，考查化簡變形的能力，屬于中檔題和易錯題．