Question

14．已知定義在R上的函數f（x），滿足$f（{x+4}）=f（x），f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{x-1}，-2≤x≤0\\ x+2，0＜x＜2\end{array}\right.$，且f（3）=f（1）-1．
（1）求實數k的值；
（2）若函數g（x）=f（x）+f（-x）（-2≤x≤2），求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數f（x），滿足$f（{x+4}）=f（x），f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{x-1}，-2≤x≤0\\ x+2，0＜x＜2\end{array}\right.$，且f（3）=f（1）-1，構造方程，解得實數k的值；
（2）函數$g（x）=f（x）+f（{-x}）=\left\{\begin{array}{l}x+2+\frac{4}{x+1}，0＜x＜2\\ \frac{-4}{x-1}-x+2，-2＜x＜0\\ \frac{8}{3}，x=2或-2\\ 8，x=0\end{array}\right.$，分類討論各段上函數值的范圍，可得答案．

解答 解：（1）由題意可得f（1）-1=1+2-1=2，
f（3）=f（-1+4）=f（-1）=2，
所以可得$\frac{k}{-1-1}=2，k=-4$．
（2）由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-4}{x-1}，-2≤x≤0\\ x+2，0＜x＜2\end{array}\right.$得：
$f（{-x}）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-4}{-x-1}，-2＜-x＜0\\-x+2，0＜-x＜2\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}\frac{-4}{x+1}，0＜x＜2\\-x+2，-2＜x＜0\end{array}\right.$，
∴$g（x）=f（x）+f（{-x}）=\left\{\begin{array}{l}x+2+\frac{4}{x+1}，0＜x＜2\\ \frac{-4}{x-1}-x+2，-2＜x＜0\\ \frac{8}{3}，x=2或-2\\ 8，x=0\end{array}\right.$，
當0＜x＜2時，1＜x+1＜3，
所以$g（x）=x+2+\frac{4}{x+1}=x+1+\frac{4}{x+1}+1≥2\sqrt{4}+1$
在（x+1）²=4即x=1處取得最小值，
所以g（x）在（0，1）處單調遞減，
在[1，2）上單調遞增，
$g（x）=\lim_{x→0}（x+2+\frac{4}{x+1}）=6$，
當x→2時，$g（x）=\lim_{x→2}（x+2+\frac{4}{x+1}）=\frac{16}{3}$，
所以g（x）在（0，2）上的值域為[5，6）．
當-2＜x＜0時，1＜1-x＜3，
∴$g（x）=\frac{4}{1-x}+（{1-x}）+1≥5$；
當（1-x）²=4，即x=-1時取得最小值；
當x→-2時，$g（x）=\lim_{x→-2}（{2-x+\frac{4}{1-x}}）=\frac{16}{3}$；
當x→0時，$g（x）=\lim_{x→0}=（{2-x+\frac{4}{1-x}}）=6$，
∴g（x）在（-2，0）上的值域為[5，6）．
綜上所述，g（x）的值域為$\left\{{\frac{8}{3}}\right\}∪[{5，6}）∪\left\{8\right\}$．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的值域，分類討論思想，難度中檔．