Question

9．設曲線$y=\frac{1}{x}$在點（1，1）處的切線與曲線y=e^x在點P處的切線垂直，則點P的坐標為（0，1）．

Answer 1

分析 求出曲線$y=\frac{1}{x}$在點（1，1）處的切線的斜率，求出函數y=e^x的導函數，設出P的坐標（x₀，y₀），得到曲線y=e^x在x=x₀處的導數，由兩直線垂直與斜率的關系求得x₀，進一步求得P的坐標．

解答 解：由$y=\frac{1}{x}$，得$y′=-\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴y′|_x=1=-1，
由y=e^x，得y′=e^x，設P（x₀，y₀），
則$y′{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
由題意可得：${e}^{{x}_{0}}=1$，∴x₀=0．
∴y=e⁰=1．
則P點的坐標為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了兩直線垂直與斜率的關系，是中檔題．