Question

13．若函數f（x）滿足：f（-x）+f（x）=e^x+e^-x，則稱f（x）為“e函數”．
（1）試判斷f（x）=e^x+x³是否為“e函數”，并說明理由；
（2）若f（x）為“e函數”且$f（x）-f（-x）={e^x}-{e^{-x}}-\frac{2}{x}$，
（ⅰ）求證：f（x）的零點在$（\frac{1}{2}，2）$上；
（ⅱ）求證：對任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）+f（x）=e^x+e^-x，可判斷f（x）=e^x+x³是“e函數”；
（2）若f（x）為“e函數”且$f（x）-f（-x）={e^x}-{e^{-x}}-\frac{2}{x}$，
（ⅰ）由于y=e^x與$y=-\frac{1}{x}$均為增函數，可知f（x）在（0，+∞）上為增函數，通過計算知f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，f（2）=e²-$\frac{1}{2}$＞0，利用零點存在定理即可證得：f（x）的零點在$（\frac{1}{2}，2）$上；
（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零點x₀∈（$\frac{1}{2}$，2），且f（x₀）=0，從而可證：對任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

解答 （1）解：∵f（-x）+f（x）=e^-x-x³+e^x+x³=e^x+e^-x，
∴f（x）為“e函數”．
（2）證明：∵f（-x）+f（x）=e^x+e^-x①，
$f（x）-f（-x）={e^x}-{e^{-x}}-\frac{2}{x}$②
∴①+②得：$2f（x）=2{e^x}-\frac{2}{x}$，∴$f（x）={e^x}-\frac{1}{x}$．
（ⅰ）∵y=e^x與$y=-\frac{1}{x}$均為增函數，∴f（x）在（0，+∞）上為贈函數，
又e^x＞0，∴f（x）的唯一零點必在（0，+∞）上．
∵f（$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{1}{2}}$-2=$\sqrt{e}$-2＜0，f（2）=e²-$\frac{1}{2}$＞0，
∴f（x）的唯一零點在（$\frac{1}{2}$，2）上．
（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零點x₀∈（$\frac{1}{2}$，2），且f（x₀）=0，
又f（x）在（0，+∞）上為增函數，∴f（x）＜0在（0，x₀）上恒成立，
∴對任意a＞0，存在λ=$\frac{{x}_{0}}{a}$＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查函數單調性、零點存在定理的應用，考查運算推理能力，屬于難題．