Question

13．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F（c，0）為橢圓右焦點，A為橢圓左頂點，且b²=ac，P為橢圓上不同于A的點，則使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0的點P的個數為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 根據橢圓a，b，c，可得F，A的坐標，設P（x，y），根據$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0和點P在橢圓上，解得即可得到交點個數．

解答 解：由題意可知：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦點在x軸上，設P（x，y），
則F（c，0），A（-a，0），
由$\overrightarrow{PA}$=（-a-x，-y），$\overrightarrow{PF}$=（c-x，-y），
由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0，則（-a-x）（c-x）+y²=0，
-ac+（a-c）x+x²+y²=0，
由P在橢圓上，y²=b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），
∴-ac+（a-c）x+x²+b²（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$）=0，
由b²=ac，
∴（1-$\frac{c}{a}$）x²+（a-c）x=0
解得：x=0，x=-a，
∴當x=0時，y=±b，
當x=-a時，y=0，
∵P為橢圓上不同于A的點，
∴P點的坐標為（0，b）或（0，-b），
∴使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PF}$=0的點P的個數為2個，
故選：C．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，以及向量的數量積公式，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．