Question

16．已知函數f（x）=2^x+2^ax+b，且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$．
（Ⅰ）求實數a，b的值并判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷函數f（x）在[0，+∞）上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$，構造方程，可解得實數a，b的值，根據奇偶性的定義，可判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數f（x）在[0，+∞）上的單調遞增，利用導數法，可證得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=2^x+2^ax+b，且$f（1）=\frac{5}{2}$，$f（2）=\frac{17}{4}$．
∴2+2^a+b=$\frac{5}{2}$，2²+2^2a+b=$\frac{17}{4}$，
即a+b=-1，2a+b=-2，
解得：a=-1，b=0，
故f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=f（x），
故函數f（x）為偶函數；
（Ⅱ）函數f（x）在[0，+∞）為增函數，理由如下：
∵f′（x）=ln2•2^x+ln$\frac{1}{2}$•2^-x，
當x∈[0，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
故函數f（x）在[0，+∞）上的單調性．

點評 本題考查的知識點是函數解析式的求法，函數的單調性，函數的奇偶性，難度中檔．