Question

1．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e³）上有三個不等實根，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{2}{e^3}}）$
• B． $（{\frac{3}{e^3}，\frac{2}{e^2}}）$
• C． $（{\frac{2}{e^3}，\frac{1}{e^2}}）$
• D． $[{\frac{2}{e^3}，\frac{1}{e^2}}]$

Answer 1

分析 y=kx+1與y=|lnx|的圖象在（0，1）一定有一個交點，
依題意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e³）上有2個交點即可．
作f（x）=kx+1與g（x）=lnx的圖象，利用數形結合的思想求解即可

解答 解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，∵y=kx+1與y=|lnx|的圖象在（0，1）一定有一個交點，
依題意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e³）上有2個交點即可．
作f（x）=kx+1與g（x）=lnx的圖象如下                                               
設直線f（x）=kx+1與g（x）=lnx相切于點（a，b）；則$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a}}\\{b=lna}\\{b=ka+1}\end{array}\right.$⇒k=e^-2
且對數函數g（x）=lnx的增長速度越來越慢，直線f（x）=kx+1過定點（0，1）
方程|lnx|=kx+1中取x=e³得k=2e^-3，∴則實數k的取值范圍是
2e^-3＜k＜e^-2．
故選：C

點評 本題考查了導數的幾何意義的應用及數形結合的思想應用，屬于中檔題．