Question

9．已知函數f（x）=-f'（0）e^x+2x+3，點P為曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線l上的一點，點Q在曲線$y=\frac{x}{e^x}$上，則|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，令x=0，可得切線l的斜率和切點，切線方程l，再求$y=\frac{x}{e^x}$導數，由過Q的切線與切線l平行時，距離最短．求得切點Q的坐標，運用點到直線的距離公式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=-f'（0）e^x+2x+3，
可得f′（x）=-f'（0）e^x+2，
即有f′（0）=-f'（0）e⁰+2，
解得f′（0）=1，
則f（x）=-e^x+2x+3，
f（0）=-e⁰+0+3=2，
則切線l：y=x+2，
$y=\frac{x}{e^x}$的導數為y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
過Q的切線與切線l平行時，距離最短．
由$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=1，即e^x=1-x，
由y=e^x，y=1-x的圖象可得x=0，
即切點Q（0，0），
則Q到切線l的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，同時考查點到直線的距離公式運用，運算能力，屬于中檔題．