Question

16．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$與$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$（a＞0，b＞0）的離心率分別為e₁，e₂，當(dāng)a，b發(fā)生變化時(shí)，求$e_1^2+e_2^2$的最小值（　　）

• A． 4
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出e₁²+e₂²，利用基本不等式，求出e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：∵e₁²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$，e₂²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}}$，∴e₁²+e₂²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}}$=2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$≥2+2=4
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）．
∴當(dāng)它們的實(shí)、虛軸都在變化時(shí)，e₁²+e₂²的最小值是4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題給出共軛雙曲線的概念，叫我們判斷關(guān)于共軛雙曲線的離心率的幾個(gè)式的正確性．著重考查了雙曲線的基本概念和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．