Question

7．拋物線y²=4x的焦點為F，過點（0，3）的直線與拋物線交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點D，若|AF|+|BF|=6，則點D的坐標為（4，0）．

Answer 1

分析 設拋物線C上兩個動點A、B的坐標，由|AF|+BF|=6結合焦半徑可得AB的中點的坐標，把A、B的坐標代入拋物線方程，用點差法求得AB的斜率，則AB的垂直平分線方程可求，取y=0可得M點坐標．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
兩式作差得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即AB的斜率為$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
由|AF|+BF|=6，則x₁+x₂+2=6，
∴x₁+x₂=4．
∴AB的中點坐標為（2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
AB的垂直平分線的斜率為-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∴AB的垂直平分線方程為y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-2），
當y=0，則x=4．
∴點M的坐標為（4，0）．
故答案為：（4，0）．

點評 本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用，考查利用“點差法”求直線的斜率，中點坐標公式及兩條直線垂直的斜率之間的關系，考查計算能力，屬于中檔題．