Question

17．已知函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，x∈R．求：
（ I） 求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（ II） 求函數f（x）在區間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （ I）根據正弦函數的圖象與性質，求出f（x）的最小正周期與單調增區間；
（ II）求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范圍，即可得出f（x）的值域．

解答 解：函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，x∈R，
（ I）函數f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的單調遞增區間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（ II）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，
2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2∈[1，4]，
即函數f（x）在區間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域是[1，4]．

點評 本題考查了正弦型函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．