Question

9．已知正數x，y滿足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，則實數λ的最小值為2．

Answer 1

分析 方法一：利用參數分離法轉化為求函數的最值問題，利用換元法以判別式法求出即可．
方法二，直接根據基本不等式即可求出．

解答 解：方法一：∵正數x，y滿足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，
∴λ≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{2•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$恒成立，
設t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0
則函數等價為y=$\frac{1+2\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$，
∴yt²-2$\sqrt{2}$t+y-1=0，
∴方程有兩個正根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=8-4y（y-1）≥0}\\{\frac{\sqrt{2}}{y}＞0}\\{\frac{y-1}{y}＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜y≤2，
∴λ≥2，
故實數λ的最小值為2，
方法二：∵正數x，y滿足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，
∴λ≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$．
∵2$\sqrt{2xy}$≤x+2y
∴$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$≤$\frac{x+x+2y}{x+y}$=2，
∴λ≥2，
故實數λ的最小值為2，
故答案為：2

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分離法以及換元法，轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．