Question

8．已知函數f（x）的圖象與函數h（x）=x+$\frac{1}{x}$+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在（0，8]內的最值．

Answer 1

分析 （1）欲求f（x）的解析式，設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），即尋找坐標x，y的關系式，這可從對稱性方面考慮即可；
（2）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），
點（x，y）關于點A（0，1）的對稱點（-x，2-y）在h（x）圖象上，
∴2-y=-x+$\frac{1}{-x}$+2，
∴y=x+$\frac{1}{x}$，即f（x）=x+$\frac{1}{x}$；
（2）f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，8]遞增，
∴當x=1時，f（x）有最小值2，
x=8時，f（x）的最大值是f（8）=$\frac{65}{8}$．

點評 本題考查了函數的對稱性，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．