Question

6．當m為何值時，方程x²-4|x|+5=m有四個互不相等的實數根？并討論m為何值時，方程有三個實數根，兩個實數根，沒有實數根．

Answer 1

分析 由題意，本題即求函數f（x）=x²-4|x|+5的圖象和直線 y=m的交點的個數與實數m的關系，數形結合可得結論．

解答 解：方程x²-4|x|+5=m根的個數，
即函數f（x）=x²-4|x|+5=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+5，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+5，x≤0}\end{array}\right.$的圖象和直線 y=m的交點的個數，
如圖所示：
故當m∈（1，5）時，f（x）的圖象和直線 y=m的交點的個數為4，即方程有4個實數根；
當m=5時，f（x）的圖象和直線 y=m的交點的個數為3，即方程有3個實數根；
當m=1時，f（x）的圖象和直線 y=m的交點的個數為2，即方程有2個實數根；
當m＜1時，f（x）的圖象和直線 y=m的交點的個數為0，即方程沒有實數根．

點評 本題主要考查方程根的存在性以及個數判斷，函數的圖象，兩個函數的圖象的交點，屬于中檔題．