Question

1．已知函數f（x）=e^x-ax
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當a=1時，求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，分類討論參數a，利用導函數判斷函數的單調性；
（2）利用函數的單調性判斷函數的極值位置即可；

解答 解：（1）對f（x）求導，則f'（x）=e^x-a
當a≤0時，f'（x）＞0，則f（x）在R上單調遞增；
當a＞0時，令f'（x）=0，則導函數零點為：x=lna；
（i）當x∈（0，lna）時，f'（x）＜0，則f（x）在（0，lna）上是單調減函數；
（ii）當x∈（lna，+∞）時，f'（x）＞0，則f（x）在（lna，+∞）上單調遞增；
（2）當a=1時，f（x）=e^x-x；
有f'（x）=e^x-1；令f'（x）=0，則導函數零點為：x=0；
當x∈（-∞，0）時，f'（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
故f（x）的極小值為f（0）=1，無極大值；

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性、函數極值以及分類討論的應用，屬中等題．