Question

6．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標方程為$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，曲線C的參數方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}}\right.$（α是參數）．
（1）求直線l的直角坐標方程及曲線C的普通方程；
（2）求曲線C上的點到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標，參數方程與普通方程的互化方法求直線l的直角坐標方程及曲線C的普通方程；
（2）利用參數方程，求曲線C上的點到直線l的最大距離．

解答 解：（1）由$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$得：$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}⇒\frac{{\sqrt{2}}}{2}y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}x=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}⇒x+y-3=0$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{\frac{y}{{\sqrt{3}}}=sinα}\end{array}}\right.$平方相加得：${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）∵$d=\frac{{|{cosα+\sqrt{3}sinα-3}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{2sin（α+\frac{π}{6}）-3}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴${d_{max}}=\frac{5}{{\sqrt{2}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標，參數方程與普通方程的互化，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．