Question

1．甲、乙兩所學校高三年級分別有1200人，1000人，為了了解兩所學校全體高三年級學生在該地區六校聯考的數學成績情況，采用分層抽樣方法從兩所學校一共抽取了110名學生的數學成績，并作出了頻數分布統計表如下：

甲 校	分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
	頻數	3	4	8	15
	分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
	頻數	15	x	3	2

乙 校	分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
	頻數	1	2	8	9
	分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
	頻數	10	10	y	3

（Ⅰ）計算x，y的值；
（Ⅱ）若規定考試成績在[120，150]內為優秀，請分別估計兩所學校數學成績的優秀率；
（Ⅲ）根據以上統計數據完成2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為兩所學校的數學成績有差異．

	甲校	乙校	總計
優秀
非優秀
總計

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻數與總數關系可得x，y的值，先求出從甲、乙校各抽取的人數，再減去已知人數即得；
（Ⅱ）即求頻率，按對應人數除以總數即可；
（ III）按公式代入計算得k≈2.83＞2.706，對照臨界值表可知在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為兩個學校的數學成績有差異．

解答 解：（Ⅰ）甲校抽取110×$\frac{1200}{2200}$=60人，乙校抽取110×$\frac{1000}{2200}$=50人，…（2分）
故x=10，y=7，…（4分）
（Ⅱ）估計甲校優秀率為$\frac{15}{60}$=25%，
乙校優秀率為$\frac{20}{50}$=40%．…（6分）
（ III）表格填寫如圖，…（8分）

	甲校	乙校	總計
優秀	15	20	35
非優秀	45	30	75
總計	60	50	110

k²=$\frac{110（15×30-20×45）^{2}}{60×50×35×75}$≈2.83＞2.706…（10分）
又因為1-0.10=0.9，故有90%的把握認為兩個學校的數學成績有差異．…（12分）

點評 本題主要考查獨立性檢驗的應用，考查概率的計算，解題的關鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于中檔題．