Question

11．已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，n∈N^*，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足b_n=$\frac{n}{2}$•a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據數列是一個各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，把這個式子分解，變為兩個因式乘積的形式，（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，注意數列是一個正項數列，得到a_n+1-2a_n=0，得到數列是一個等比數列，寫出通項；
（2）由b_n=$\frac{n}{2}$•a_n=$\frac{n}{2}$•2ⁿ=n•2^n-1，采用“錯位相減法”即可求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，則（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以數列{a_n}是以2為公比的等比數列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{n}{2}$•a_n=$\frac{n}{2}$•2ⁿ=n•2^n-1，
數列{b_n}的前n項和S_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，
=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2³，
∴兩式相減得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ，
=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ，
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1，（n∈N*）．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．