Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-2．
（1）求f（x）的單調(diào)性；
（2）若方程y=f（x）有兩個(gè)根x₁，x₂（x₁＜x₂），證明：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而確定0＜x₁＜2a＜x₂，作f（2a-x₁）-f（x₂），利用換元法可證明f（2a-x₁）-f（x₂）＜0，從而可得2a-x₁＜x₂，從而得證．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{x2}$=$\frac{x-a}{x2}$，（x＞0）
所以當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
（2）證明：若函數(shù)y=f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），由（1）可得0＜x₁＜a＜x₂．
令g（x）=f（x）-f（2a-x），（0＜x＜a）
則g′（x）=f′（x）+f′（2a-x）=（x-a）[$\frac{1}{x2}$-$\frac{1}{（2a-x）2}$]＜0，
所以g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（a）=0，
即f（x）＞f（2a-x）．
令x=x₁＜a，則f（x₁）＞f（2a-x₁），所以f（x₂）=f（x₁）＞f（2a-x₁），
由（1）可得f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，所以x₂＞2a-x₁，
故x₁+x₂＞2a．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，難點(diǎn)是函數(shù)的構(gòu)造，難度較大．