Question

3．探究函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如表：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）在區間（0，2）上遞減；
函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）在區間（2，+∞）上遞增．
當x=2時，y_最小=4．
（2）證明：函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）在區間（0，2）遞減．

Answer 1

分析 （1）觀察f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）對應的表，能求出結果．
（2）任取x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，利用定義法能證明函數$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在區間（0，2）遞減．

解答 解：（1）觀察f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）對應的表，
得到函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）在區間（0，2）上遞減，
函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）在區間（2，+∞）上遞增，
當x=2時，y_最小=4．
故答案為：（0，2），（2，+∞），2，4．
證明：（2）任取x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁，x₂＞0，x₁，x₂＜4，x₁，x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在區間（0，2）遞減．

點評 本題考查函數的單調區間的求法，考查函數是減函數的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意定義法的合理運用．