Question

1．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{2}{3}$，且S₂+$\frac{1}{2}$a₂=1
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=log₃$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$，求數列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等比數列{a_n}的公比為q，由題意得$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$q+$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$q=1，解得q，即可得出．
（2）由（1）知：b_n=log₃$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，由題意得$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$q+$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$q=1，即q=$\frac{1}{3}$，
因此a_n=a₁•q^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
（2）由（1）知：b_n=log₃$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$=log₃3^-2n=-2n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式、裂項求和方法、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．