Question

6．如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O為AB的中點．
（1）證明：CO⊥DE；
（2）求二面角C-DE-A的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知中因為BC=AC，O為AB中點，我們易得CO⊥AB，又由等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，可得CO⊥平面ABDE，進而根據線面垂直的性質，即可證明CO⊥DE；
（2）過C作CF⊥DE，垂足為F，連接OF，則∠CFO為二面角C-DE-A的平面角，在△CDE中，可得CE，CD，DE，取CD的中點G，則EG⊥CD，利用等面積可得CF，從而可求二面角C-DE-A的余弦值．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴BC=AC，
∵O為AB中點．所以CO⊥AB，
又因為平面ABC⊥平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE=AB，CO?平面ABC，
所以CO⊥平面ABDE，
∵DE?平面ABDE，
∴CO⊥DE；
（2）解：過C作CF⊥DE，垂足為F，連接OF，則∠CFO為二面角C-DE-A的平面角，
在△CDE中，CE=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{5}$．
取CD的中點G，則EG⊥CD，∴取CD的中點G，則EG⊥CD，∴EG=$\sqrt{3}$，
利用等面積可得：$\sqrt{5}×CF=2\sqrt{2}×\sqrt{3}$
利用等面積可得：$CF=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$，CO=$\sqrt{3}$，OF=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠CFO=$\frac{OF}{CF}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴二面角C-DE-A的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．二面角C-DE-A的大小arccos$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質與判定，線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．解答面面角的關鍵是正確作出面面角．屬于中檔題．