Question

18．定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且f（x）+xf′（x）＜xf（x）對x∈R恒成立，則（　　）

• A． 3f（3）＞2ef（2）
• B． 3f（3）＜2ef（2）
• C． f（2）＞0
• D． f（-2）＞0

Answer 1

分析 構造g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)的運算法則及其已知可得：g′（x）=$\frac{f（x）+x{f}^{′}（x）-xf（x）}{{e}^{x}}$＜0，即可得出．

解答 解：構造g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f（x）+x{f}^{′}（x）-xf（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減．
∴$\frac{3f（3）}{{e}^{3}}$＜$\frac{2f（2）}{{e}^{2}}$，
∴3f（3）＜2ef（2），
故選：B．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構造法、不等式的性質(zhì)與解法，充分根據(jù)已知構造函數(shù)是解題的關鍵，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．