Question

15．已知函數f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$．
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若函數g（x）=f（6-x），求證：當x＞3時，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，由導函數大于0求得函數的增區間，由導函數小于0求得函數的減區間，進一步得到函數的極大值；
（2）求出g（x），構造函數h（x）=f（x）-g（x），求導可知函數g（x）在（3，+∞）上為增函數，由h（x）＞h（3）證得結論．

解答 解：（1）f′（x）$\frac{{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜3，
令f′（x）＜0，解得：x＞3，
故f（x）在（-∞，3）遞增，在（3，+∞）遞減，
故f（x）_極大值=f（3）=$\frac{1}{{e}^{3}}$；
證明：（2）g（x）=f（6-x）=$\frac{4-x}{{e}^{6-x}}$，
令h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$-$\frac{4-x}{{e}^{6-x}}$，（x＞3），
則h′（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$$-\frac{3-x}{{e}^{6-x}}$=$（3-x）（\frac{1}{{e}^{x}}-\frac{1}{{e}^{6-x}}）$．
當x＞3時，x＞6-x，e^x＞e^6-x＞0，則$\frac{1}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{{e}^{6-x}}$．
∴h′（x）＞0，函數h（x）在（3，+∞）上為增函數，
則h（x）＞h（3）=$\frac{3-2}{{e}^{3}}-\frac{4-3}{{e}^{3}}=0$．
∴當x＞3時，f（x）＞g（x）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，訓練了利用導數證明函數不等式的方法，是中檔題．