Question

11．已知函數f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）求函數f（x）的值域M；
（2）若a∈M，試比較|a-1|+|a+1|，$\frac{3}{2a}$，$\frac{7}{2}-2a$的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函數的分段函數的形式，求出f（x）的最小值，從而求出函數的值域即可；
（2）根據絕對值的性質，求出a的范圍，根據作差法比較即可．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
根據函數f（x）的單調性可知，
當$x=\frac{1}{2}$時，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{2}$．
所以函數f（x）的值域$M=[\frac{3}{2}，+∞）$．
（2）因為a∈M，所以$a≥\frac{3}{2}$，所以$0＜\frac{3}{2a}≤1$．
因為|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3，
所以$|a-1|+|a+1|＞\frac{3}{2a}$，
因為$\frac{3}{2a}-（{\frac{7}{2}-2a}）$=$\frac{{4{a^2}-7a+3}}{2a}$=$\frac{{（{a-1}）（{4a-3}）}}{2a}$，
又由$a≥\frac{3}{2}$，知a-1＞0，4a-3＞0，
所以$\frac{（a-1）（4a-3）}{2a}＞0$，
所以$\frac{3}{2a}＞\frac{7}{2}-2a$，
所以|a-1|+|a+1|＞$\frac{3}{2a}＞\frac{7}{2}-2a$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．