Question

6．已知f（θ）=-cos²θ-2msinθ+2m+2，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，m∈R．
（1）求函數f（θ）的最小值g（m）；
（2）若對一切θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有不等式f（θ）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換變換化簡函數的解析式為f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1，sinθ∈[0，1]，分類討論m的范圍，求得它的最小值．
（2）由題意，f（θ）的最小值大于零，分類討論求得m的范圍．

解答 解：（1）∵f（θ）=-cos²θ-2msinθ+2m+2，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，m∈R，
∴f（θ）=sin²θ-2msinθ+2m+1=（sinθ-m）²-m²+2m+1．
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinθ∈[0，1]，
當m＜0時，則當sinθ=0時，f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1取得最小值為 2m+1；
當m∈[0，1]時，則當sinθ=m時，f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1取得最小值為-m²+2m+1；
當m＞1時，則當sinθ=1時，f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1取得最小值為 2．
（2）若對一切θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有不等式f（θ）＞0恒成立，則f（θ）的最小值大于零．
由（1）可得，當m＜0時，2m+1＞0，求得-$\frac{1}{2}$＜m＜0；
當m∈[0，1]時，-m²+2m+1＞0，求得0≤m≤1；
當m＞1時，2＞0 恒成立，
綜上可得，m的范圍為m＞-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換變換，二次函數的性質，函數的恒成立問題，屬于中檔題．