Question

18．新課程改革后，我校開設了甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響．已知學生小張只選修甲的概率為0.06，只選修甲和乙的概率是0.09，至少選修一門課程的概率是0.82，用ξ表示小張選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積．
（I）求學生小張選修甲的概率；
（II）記“函數f（x）=x²+ξx為R上的偶函數”為事件A，求事件A的概率；
（III）求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （I）利用相互獨立事件的概率公式及相互對立事件的概率公式列出方程求出學生小張選修甲的概率．
（II）先判斷出事件A表示的實際事件，再利用互斥事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式求出事件A的概率；
（II）求出ξ可取的值，求出取每個值的概率值，列出分布列，利用數學期望公式求出隨基本量的期望值

解答 解：（Ⅰ）設學生小張選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z
依題意得
.$\left\{\begin{array}{l}{x（1-y）（1-z）=0.06}\\{xy（1-z）=0.09}\\{1-（1-x）（1-y）（1-z）=0.82}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0.25}\\{y=0.6}\\{z=0.4}\end{array}\right.$，
所以學生小張選修甲的概率為0.25．
（Ⅱ）若函數f（x）=x²+ξx為R上的偶函數，則ξ=0，
當ξ=0時，表示小張選修三門功課或三門功課都沒選．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24，
∴事件A的概率為0.24，
（Ⅲ）依題意知ξ=0，2，
則ξ的分布列為：

ξ	0	2
P	0.24	0.76

∴ξ的數學期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52．

點評 求隨基本量的分布列，應該先判斷出隨基本量可取的值，再求出取每一個值的概率值