Question

19．如圖，已知點P是圓O外一點，過P做圓O的切線PA，PB，切點分別為A，B，過P做一條割線交圓O于E，F，若2PA=PF，取PF的中點D，連接AD，并延長交圓于H．
（1）求證：四點O，A，P，B共圓；
（2）求證：PB²=2ED×DF．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB，可得∠OAP+∠OBP=π，即可證明．
（2）由切割線定理可得：PA²=PE•PF，由相交弦定理可得：AD•DH=ED•DF，化簡利用已知即可證明．

解答 證明：（1）如圖所示，連接OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP+∠OBP=π
∴四點O，A，P，B共圓．
（2）由切割線定理可得：PA²=PE•PF，∵PF=2PA，
∴PA²=PE•2PA，∴PA=2PE，PE=ED=$\frac{1}{2}$PA．
由相交弦定理可得：AD•DH=ED•DF，
∴AD•DH=$\frac{1}{2}P{A}^{2}$，
∵PB=PA，
∴PB²=2ED•DF．

點評 本題考查了四點共圓、切割線定理、相交弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．