Question

12．若函數f（x）=x+ln$\sqrt{x}$在區間[a，b]的值域為[ta，tb]，則實數t的取值范圍是（1，1+$\frac{1}{2e}$）．

Answer 1

分析 由復合函數的單調性可得f（x）在定義域上為單調增函數，結合函數f（x）=x+ln$\sqrt{x}$在區間[a，b]的值域為[ta，tb]，可得ln$\sqrt{a}$+a=ta，ln$\sqrt$+b=tb，即a，b為方程ln$\sqrt{x}$+x=tx的兩個不同根．即t=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$有兩個不同根，令g（x）=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$，利用導數研究其單調性并求得極值，數形結合可得t的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x+ln$\sqrt{x}$的定義域為{x|x＞0}，f（x）在定義域上為單調增函數，
又函數f（x）=x+ln$\sqrt{x}$在區間[a，b]的值域為[ta，tb]，
∴f（a）=ta，f（b）=tb，
即：ln$\sqrt{a}$+a=ta，ln$\sqrt$+b=tb，即a，b為方程ln$\sqrt{x}$+x=tx的兩個不同根．
∴t=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$有兩個不同根，
令g（x）=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$，則g'（x）=$\frac{\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}•\frac{1}{\sqrt{x}}•x-ln\sqrt{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}-ln\sqrt{x}}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0，得$\frac{1}{2}-ln\sqrt{x}=0$，得x=e．
∴當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上為增函數，在（e，+∞）上為減函數．
可得極大值點x=e，故g（x）的極大值為：g（e）=1+$\frac{1}{2e}$，
又當x→0⁺時，g（x）→-∞，當x→∞時，g（x）→1，
因此當1＜t＜1+$\frac{1}{2e}$時，直線y=t與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，方程 t=1+$\frac{lnx}{x}$有兩個解．
故所求的t的取值范圍為（1，1+$\frac{1}{2e}$），
故答案為：（1，1+$\frac{1}{2e}$）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查根的存在性及根的個數判斷，體現了數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．