Question

7．若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為12，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{CM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=（　　）

• A． -26
• B． -27
• C． -28
• D． -29

Answer 1

分析 由已知建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．

解答 解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則A（-6，0），B（6，0），C（0，$6\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CA}=（-6，-6\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CB}=（6，-6\sqrt{3}）$．
則$\overrightarrow{CM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$\frac{3}{4}（-6，-6\sqrt{3}）+\frac{1}{3}（6，-6\sqrt{3}）$=$（-\frac{5}{2}，-\frac{13\sqrt{3}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$=（$\frac{7}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{17}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=$\frac{7}{2}×（-\frac{17}{2}）+\frac{3}{4}=-29$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查平面向量基本定理的應(yīng)用，是中檔題．