Question

定義：點M（a，b）的“相關函數”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），點M（a，b）稱為函數f（x）=asinx+bcosx（x∈R）的“相關點”．
（I）設函數h（x）=

2

×（

1

3

）^mcos（x-

π

4

）-2sin（x+

π

6

）的“相關點”為N，若N∈{（a，b）|a＜0，b＞0，a∈R，b∈R}，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）已知點M（a，b）滿足：

b

a

∈（1，

2

]，點M（a，b）的“相關函數”f（x）在x=x₀處取得最大值，求tan2x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：新定義,函數的性質及應用,三角函數的求值

分析：（1）先求函數的解析式，根據已知a＜0，b＞0，即可求得實數m的取值范圍；
（2）根據已知先求tanx₀的值，tan2x₀的值，設

b

a

=t，由反比例函數單調性即可根據

b

a

∈（1，

2

]求tan2x₀的取值范圍．

解答： 解：（1）∵h(x)=

2

×(

1

3

)mcos(x-

π

4

)-2sin(x+

π

6

)
=(

1

3

)m(cosx+sinx)-(

3

sinx+cosx)
=[(

1

3

)m-

3

]sinx+[(

1

3

)m-1]cosx-------------------（3分）
∴

( 1 3 )m- 3 ＜0 ( 1 3 )m-1＞0

∴-

1

2

＜m＜0-------------------------------（5分）
（Ⅱ）點M（a，b）“相關函數”f(x)=asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+ϕ)，cosϕ=

a

a2+b2

，sinϕ=

b

a2+b2

當x+ϕ=2kπ+

π

2

，k∈Z，x0=2kπ+

π

2

-ϕ，k∈Z時，f（x）取最大值
∴tanx0=tan(2kπ+

π

2

-ϕ)=

sin( π 2 -ϕ)

cos( π 2 -ϕ)

=

cosϕ

sinϕ

=

a

b

------------------------（8分）
∴tan2x0=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

---------------------------------------（10分）
設

b

a

=t，∴t∈(1，

2

]，由反比例函數單調性知，-

1

t

隨t的增大而增大，所以t-

1

t

隨t的增大而增大，
（或者用單調性定義判斷函數y=t-

1

t

(t∈(1，

2

])的單調性）
所以t-

1

t

∈(0，

2

2

]，∴tan2x0=

2

t- 1 t

∈[2

2

，+∞)----------------------------（12分）

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，函數的性質及應用，屬于基本知識的考查．