Question

平面直角坐標系中，已知A（4，3），試在x軸上求一點P，使

OP

AP

的值最大．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：設出P的坐標，利用距離公式表示所求表達式，利用二次函數的最值求解最值即可．

解答： 解：由題意設P（x，0）．如圖，顯然x＞0，

OP

AP

的值大于x＜0時的值．

OP

AP

=

x2 (x-4)2+32

=

x2 x2-8x+25

=

1 1- 8 x + 25 x2

，
當1-

8

x

+

25

x2

取得最小值時

OP

AP

取得最大值．
當

1

x

=

8

2×25

=

4

25

，即x=

25

4

時，1-

8

x

+

25

x2

取得最小值：

9

25

，

OP

AP

的最大值為：

1 9 25

=

5

3

．
此時P（

25

4

，0）．

點評：本題考查函數與方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．