Question

設點P（x，y）滿足條件

x≤0 y≥0 y≤2x+2

，點Q（a，b）（a≤0，b≥0）滿足

OP

•

OQ

≤1恒成立，其中O是坐標原點，則Q點的軌跡所圍成圖形的面積是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規劃,平面向量數量積的運算

專題：

分析：由已知中在平面直角坐標系中，點P（x，y），則滿足

OP

•

OQ

≤1的點Q的坐標滿足

-a≤1 2b≤1 a≤0，b≥0

，畫出滿足條件的圖形，即可得到點Q的軌跡圍成的圖形的面積．

解答： 解：∵

OP

•

OQ

≤1，
∴ax+by≤1，
∵作出點P（x，y）滿足條件

x≤0 y≥0 y≤2x+2

的區域如圖，
且點Q（a，b）滿足

OP

•

OQ

≤1恒成立，
只須點P（x，y）在可行域內的角點處：A（-1，0），B（0，2），ax+by≤1成立即可，
∴

-a≤1 2b≤1 a≤0，b≥0

，即

a≥-1 b≤ 1 2 a≤0，b≥0

，
它表示一個長為1寬為

1

2

的矩形，其面積為：

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．