Question

在平面直角坐標系xOy中，以曲線ξ：x²-y²=m²（m，x＞0）的焦距為直徑，以原點O為圓心作⊙O，⊙O交ξ于A，B兩點，則由直線OA，OB與曲線ξ圍成的封閉圖形的面積為

 

．

Answer 1

考點：定積分在求面積中的應用

專題：計算題,作圖題,導數的綜合應用

分析：聯立ξ與圓的方程得

x2-y2=m2 x2+y2=2m2

；從而可判斷△OAB為正三角形，而漸近線相互垂直的雙曲線可以轉換為反比例函數，即x²-y²=m²可化為xy=

m2

2

；從而求得A（

m

2

（

3

-1），

m

2

（

3

+1）），B（

m

2

（

3

+1），

m

2

（

3

-1））；由直線OA，OB與曲線ξ圍成的封閉圖形的面積等于曲邊梯形ADBE的面積；從而利用定積分求解．

解答： 解：圓O的半徑r即為雙曲線的半焦距長r=

2

m；
聯立ξ與圓的方程：

x2-y2=m2 x2+y2=2m2

；
即k_OA=

yA

xA

=

3

3

；
∴∠AOB=60°；
故△OAB為正三角形，
而漸近線相互垂直的雙曲線可以轉換為反比例函數：
即x²-y²=m²可化為xy=

m2

2

；
sin15°=

2

4

（

3

+1）；
故A（

m

2

（

3

-1），

m

2

（

3

+1）），B（

m

2

（

3

+1），

m

2

（

3

-1））；

故S_△OAD=

1

2

•

m

2

（

3

-1）•

m

2

（

3

+1））=

m2

4

，
S_△OBE=

m2

4

；
S_△OAD-S_△OCD=S_△OBE-S_△OCD；
故S_△OAC=S_梯形BCDE；
故由直線OA，OB與曲線ξ圍成的封閉圖形的面積等于曲邊梯形ADBE的面積；
即S=

∫

xB xA

1

x

dx=ln

m

2

（

3

+1）-ln

m

2

（

3

-1）=ln

3 +1

3 -1

=ln（2+

3

）．
故答案為：ln（2+

3

）．

點評：本題考查了學生的作圖能力及定積分的綜合應用，屬于基礎題．