Question

10．已知函數f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+m，（x∈R，m∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是6，求f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性求得函數f（x）的最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數的定義域和值域，求得m的值，從而求得f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：（1）函數f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+m，
故函數f（x）的最小正周期為π．
（2）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2+1+m=6，∴m=3．
故當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，f（x）取得最小值為-1+1+m=3．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．