Question

1．函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）確定A，ω，φ的值，并寫出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）描述函數y=f（x）的圖象可由函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換而得到；
（Ⅲ）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{10}{13}$（$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{5π}{6}$），求tan2（α-$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數f（x）解析式．
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．
（Ⅲ）由條件求得故$tan（α-\frac{π}{3}）=\frac{5}{12}$，再利用二倍角的正切公式，求得$tan2（α-\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（Ⅰ）根據函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象知A=2．
∵$\frac{3T}{4}$=$\frac{5π}{12}$-（$\frac{π}{3}$），∴T=π．∴ω=2．
由五點法作圖知當x=$\frac{5π}{12}$時，ωx+φ=$\frac{π}{2}$，
即2×$\frac{5}{12}$π+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$．故$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）先把y=sinx的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位長度得到$y=sin（x-\frac{π}{3}）$的圖象，
使曲線上各點的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$，得到函數$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$的圖象，
最后把曲線上各點的縱坐標變為原來的2倍，得到$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅲ）由$f（\frac{α}{2}）=\frac{10}{13}$得$sin（α-\frac{π}{3}）=\frac{5}{13}$，因為$\frac{π}{3}＜α＜\frac{{5{π}}}{6}$
所以$0＜α-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$，得$cos（α-\frac{π}{3}）=\frac{12}{13}$，故$tan（α-\frac{π}{3}）=\frac{5}{12}$，
∴$tan2（α-\frac{π}{3}）=\frac{{2tan（α-\frac{π}{3}）}}{{1-{{tan}^2}（α-\frac{π}{3}）}}=\frac{120}{119}$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，二倍角的正切公式，屬于中檔題．