Question

16．設函數f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x-a（a∈R）（e為自然對數的底數），若存在x₀∈[-1，0]，使得f（f（x₀））=x₀，則實數a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．

Answer 1

分析 利用反函數將問題進行轉化，再將解方程問題轉化為函數的最值問題．

解答 解：∵存在x₀∈[-1，0]，使得f（f（x₀））=x₀，
∴存在x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）=f^-1（x₀），
即函數f（x）與其反函數f^-1（x）在[-1，0]上有交點．
∵f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x-a在[-1，0]上為增函數，
∴函數f（x）與其反函數f^-1（x）在[-1，0]的交點在直線y=x上，
即函數f（x）與其反函數f^-1（x）的交點就是f（x）與y=x的交點．
令：e^x+$\frac{1}{2}$x-a=x，則方程在[-1，0]上一定有解，
∴a=e^x-$\frac{1}{2}$x，
設g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x，
則g′（x）=e^x-$\frac{1}{2}$，
當-1＜x＜-ln2時，g′（x）＜0，g（x）在（-1，-ln2）遞減；
當-ln2＜x＜0時，g′（x）＞0，g（x）在（-ln2，0）遞增．
當x=-ln2時，g（x）取得極小值，也為最小值$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
g（-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{e}$，g（0）=1，即有g（x）的最大值為1．
綜上可知，[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．

點評 本題主要考查函數方程的轉化思想，考查導數的運用：求單調區間、極值和最值，綜合性較強，屬于難題．