Question

13．在正方形ABCD中，點E在邊AD上（端點除外），現將△ABE沿直線BE翻折至△A′BE，連結A′C、A′D，記二面角A′-BE-C為α（0＜α＜π），則（　　）

• A． 存在α，使得A′E⊥面A′BC
• B． 存在α，使得A′B⊥面A′CD
• C． 存在α，使得A′E⊥面A′CD
• D． 存在α，使得A′B⊥面A′DE

Answer 1

分析 Rt△ABE繞BE旋轉的幾何體是兩個圓錐的組合體，能推導出某個位置存在母線A′E⊥AE，即A′E⊥BC，從而得到存在α，使得EA′⊥面A′BC．

解答 解：作AF⊥BE于F，交DC于G，則當折疊時，A′的投影在FG上，
設正方形的邊長為1，則A′B=1，BD=$\sqrt{2}$，
∵A′E+ED=1＞A′D，∴∠BA′D≠90°，故D和B錯誤；
∵二面角A′-BE-C的大小為α（0＜α＜π），不存在母線EA′⊥A′C，
∴不可能存在α，使得EA′⊥面A′CD，故C錯誤；
Rt△ABE繞BE旋轉的幾何體是兩個圓錐的組合體，
∵∠A′BE＜45°，45°＜∠A′EB＜90°，
∴某個位置存在母線A′E⊥AE，即A′E⊥BC，
∵二面角A′-BE-C的大小為α（0＜α＜π），
∴存在α，使得EA′⊥面A′BC，故A正確．
故選：A．

點評 本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．屬于中檔題．