Question

2．已知函數f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²，方程f²（x）+tf（x）+1=0有四個實數根，則實數t的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{5}{2}$）
• B． （-$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調性，作出f（x）的函數圖象，得出f（x）=m的根的分別情況，從而得出關于m的方程的根的分別區間，列不等式解出t．

解答 解：f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
∴當x＜0或x＞1時f′（x）＞0，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x=0時，f（x）取得極大值f（0）=0，當x=1時，f（x）取得極小值f（1）=-$\frac{1}{2}$．
作出f（x）的函數圖象如圖所示：

設f（x）=m，由圖象可知：
當m＜-$\frac{1}{2}$或m＞0時，方程f（x）=m只有1解，
當m=-$\frac{1}{2}$或m=0時，方程f（x）=m有2解，
當-$\frac{1}{2}$＜m＜0時，方程f（x）=m有3解，
∵程f²（x）+tf（x）+1=0有四個實數根，
∴關于m的方程m²+tm+1=0在（-∞，-$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{2}$，0）上各有1個零點．
∴$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$t+1＜0，
解得：t＞$\frac{5}{2}$．
故選C．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，函數的單調性判斷與極值計算，屬于中檔題．