Question

7．某學校研究性學習小組對該校高二（1）班n名學生視力情況進行調查，得到如圖所的頻率分布直方圖，已知視力在4.0～4.4范圍內的學生人數為24人，視力在5.0～5.2范圍內為正常視力，視力在3.8～4.0范圍內為嚴重近視．
（1）求a，n的值；
（2）學習小組成員發現，學習成績突出的學生近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對班級名次在前10名和后10名的學生進行了調查，得到如表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為視力與學習成績有關系？
（3）若先按照分層抽樣在正常視力和嚴重近視的學生中抽取6人進一步調查他們用眼習慣，再從這6人中隨機抽取2人進行保護視力重要性的宣傳，求視力正常人數ξ的分布列和期望．

是否近視/年級名次	前10名	后10名
近視	9	7
不近視	1	3

附：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c（b+d）}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）由頻率和為1列方程求出a的值，根據頻率、頻數與樣本容量的概型求出n的值；
（2）由列聯表計算K²，對照臨界值表得出正確的結論；
（3）由題意知ξ的可能取值，計算對應的概率值，寫出ξ的分布列，求出數學期望值．

解答 解：（1）由頻率和為1，得
（a+2a+2a+3a+4a+4a+4a）×0.2=1，
解得a=0.25，
由已知（4a+4a）×0.2=$\frac{24}{n}$，
解得n=60；
（2）由列聯表計算K²=$\frac{20{×（9×3-1×7）}^{2}}{10×10×16×4}$=$\frac{5}{4}$=1.25＜2.706，
所以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下，不能認為視力與學習成績有關系；
（3）正常視力為6人，嚴重近視為3人，依題意抽取的6人中，正常視力4人，嚴重近視2人，
從6人中任取2人，視力正常人數ξ的可能取值為0，1，2；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$；
∴ξ的分布列為，

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{5}$

數學期望為E（ξ）=0×$\frac{1}{15}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗問題，也考查了離散型隨機變量的分布列，是中檔題．