Question

18．等差數列{a_n}的公差為d，關于x的不等式 $\fracp9vv5xb5{2}$x²+（a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$）x+c≥0的解集為[0，20]，則使數列{a_n}的前n項和S_n最大的正整數n的值是10．

Answer 1

分析 關于x的不等式 $\fracp9vv5xb5{2}$x²+（a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$）x+c≥0的解集為[0，20]，可得：$\fracp9vv5xb5{2}$＜0，c=0，0+20=-$\frac{{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}}{\fracp9vv5xb5{2}}$，化為：2a₁+19d=0，a₁+a₂₀=0，a₁＞0．可得a₁₀+a₁₁=0，a₁₀＞0，a₁₁＜0．即可得出．

解答 解：∵關于x的不等式 $\fracp9vv5xb5{2}$x²+（a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$）x+c≥0的解集為[0，20]，
∴$\fracp9vv5xb5{2}$＜0，c=0，0+20=-$\frac{{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}}{\fracp9vv5xb5{2}}$，化為：2a₁+19d=0，∴a₁+a₂₀=0，a₁＞0．
∴a₁₀+a₁₁=0，∴a₁₀＞0，a₁₁＜0．
∴使數列{a_n}的前n項和S_n最大的正整數n的值是10．
故答案為：10．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．