Question

8．已知中心在原點橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其中一個頂點是（0，-$\sqrt{3}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點P（-2，1）的直線l與橢圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用離心率以及橢圓的頂點坐標，列出方程求解橢圓的a，b，即可頂點橢圓方程．
（2）通過直線的斜率不存在判斷直線方程是否是切線方程，切線的斜率存在時，設出直線方程，與橢圓聯立方程組，利用判別式為0，求出k，然后求解切線方程．

解答 解：（1）中心在原點橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其中一個頂點是（0，-$\sqrt{3}$），
可得e=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-{c}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
橢圓C的方程，：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）過點P（-2，1）的直線l，當斜率不存在時，直線與x=-2，顯然與橢圓相切；
當直線的斜率存在時，直線為：y-1=k（x+2），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²+（16k²+8k）x+16k²+16k-8=0，
因為直線與橢圓相切，所以△=（16k²+8k）²-4（3+4k²）（16k²+16k-8）=0，
解得k=$\frac{1}{2}$，此時的切線方程為：x-2y+4=0．
所求的直線方程為：x=-2或x-2y+4=0．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．