Question

3．已知函數f（x）=log₄$\frac{{{x^2}+ax+b}}{{{x^2}+x+1}}$的定義域為R，且y=f（x+1）的圖象過點A（-1，0）．
（1）求實數b的值；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使函數f（x）在R上的最大值為1-log₄3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖象變換可得f（0）=log₄b=0，解得b；
（2）可令t=$\frac{{{x^2}+ax+b}}{{{x^2}+x+1}}$，可得t＞0，且函數t在[1，+∞）上單調遞增，求出導數，由導數不小于0，解不等式即可得到a的范圍；
（3）假設存在實數a，使函數f（x）在R上的最大值為1-log₄3，即有t=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$在R上的最大值為$\frac{4}{3}$．將函數t整理為關于x的方程，運用判別式非負，結合二次方程的根的含義，代入$\frac{4}{3}$，解方程即可得到a的值，檢驗即可得到所求值．

解答 解：（1）y=f（x+1）的圖象過點A（-1，0），
可得y=f（x）的圖象過點（0，0），
即有f（0）=log₄b=0，解得b=1；
（2）可令t=$\frac{{{x^2}+ax+b}}{{{x^2}+x+1}}$，
可得t＞0，且函數t在[1，+∞）上單調遞增，
由導數t′=$\frac{（2x+a）（{x}^{2}+x+1）-（{x}^{2}+ax+1）（2x+1）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$
=$\frac{（a-1）（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$≥0恒成立，
由于x≥1，可得a-1≤0，即a≤1，
當a=1時，函數t=1為常數，舍去，
故a＜1；
（3）假設存在實數a，使函數f（x）在R上的最大值為1-log₄3，
即有t=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$在R上的最大值為$\frac{4}{3}$．
即有（t-1）x²+（t-a）x+t-1=0
由△=（t-a）²-4（t-1）²≥0，
即有3t²-（8-2a）t-（a²-4）≤0，
由假設可得3×$\frac{16}{9}$-（8-2a）×$\frac{4}{3}$-（a²-4）=0，
解得a=2或$\frac{2}{3}$，
當a=2時，f（x）=log₄$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$的定義域不為R，舍去，
則存在實數a為$\frac{2}{3}$，使函數f（x）在R上的最大值為1-log₄3．

點評 本題考查函數的單調性及應用，以及函數的最值的求法，考查存在性問題的解法，考查轉化思想的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．